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Séminaire CREM

Définir les concepts de l'analyse : une approche phasée

Définir les concepts de l’analyse : une approche phasée. Historiquement, les concepts de l’analyse se sont développés dans le sens contraire de l’ordre déductif : les dérivées et les intégrales sont du 17e siècle, tandis qu’une définition précise du concept de limite n’a été mise au point qu’au 19e siècle, lorsque des fonctions ‘bizarres’ étaient apparues, dont la continuité, la dérivabilité et l’intégrabilité ne pouvaient pas être ‘tranchées’ sans définitions plus fines.Dans beaucoup de manuels scolaires, des définitions formelles sont introduites dès le début, sans que les élèves ne puissent comprendre leur nécessité. Par après, bien souvent, on fait du ‘fromage à trous’ en remplaçant les démonstrations trop difficiles par la mention « on peut démontrer que … ». Dans cet exposé, je proposerai d’utiliser d’une façon conséquente les notions ‘visuelles’ de dérivée, d’intégrale et de continuité, du moins dans une première phase. Vers la fin du cours d’analyse, on peut confronter les élèves avec quelques fonctions ‘bizarres’ afin de motiver des définitions plus fines. La dernière phase, réservée aux élèves les plus forts en mathématiques, consiste à utiliser ces définitions fines dans quelques exemples de démonstrations.