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Centre de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

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Séminaire CREM

Une seule géométrie ?

L'enseignement à des enfants de la géométrie plane recourt fortement à l'intuition physique. Dans ce contexte, il n'y a qu'une géométrie, induite par le monde physique et formalisée dans les Eléments d'Euclide. L'exposé poursuit deux buts. Tout d'abord, montrer que dans les notions communes de géométrie plane, un tri s'avère utile. Les concepts et résultats géométriques sont ainsi classés en euclidiens, affins et projectifs. Cette classification s'avère utile dans la résolution de certains problèmes, des exemples seront repris de l'olympiade mathématique. Trois types de structures géométriques émergent, avec leurs propres groupes de transformations. Le second but est de signaler l'existence d'autres géométries encore. La question de l'indépendance d'un des axiomes utilisés par Euclide a conduit aux géométries non-euclidiennes (elliptique ou hyperbolique). Nous les évoquerons, sans entrer dans les détails techniques. Leur découverte dans la première moitié du dix-neuvième siècle a révolutionné les conceptions géométriques non seulement des mathématiciens, mais aussi des physiciens et des philosophes.